a, (x + 1)(2y - 1) = 12 Show \=> x + 1 ; 2y - 1 \(\in\) Ư(12) = {\(\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm12\)} Mà 2y - 1 lẻ => 2y - 1 \(\in\) {\(\pm1;\pm3\)} \=> x + 1 \(\in\) {\(\pm4;\pm12\)} Ta có bảng: x + 1 4 -4 12 -12 2y - 1 3 -3 1 -1 x 3 -5 11 -13 y 2 -1 1 0 Vậy các cặp (x;y) là (3;2) ; (-5;-1) ; (11;1) ; (-13;0) b, (2x + 1)(y - 3) = 10 \=> 2x + 1 ; y - 3 \(\in\) Ư(10) = {\(\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\)} Mà 2x + 1 lẻ => 2x + 1 \(\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\) \=> y - 3 \(\in\left\{\pm2;\pm10\right\}\) Ta có bảng: 2x + 1 1 -1 5 -5 y - 3 10 -10 2 -2 x 0 -1 2 -3 y 13 -7 5 1 Vậy các cặp (x;y) là (0;13) ; (-1;-7) ; (2;5) ; (-3;1) Với Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8. Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
1. Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. Bình phương của một hiệu (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3. Hiệu hai bình phương A2 - B2 = (A – B)(A + B) II. Các dạng bài: 1. Dạng 1: Thực hiện phép tính
Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức b, Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: a, (x - 2)2 \= x2 - 2.x.2 + 22 \= x2 - 4x + 4 b, (2x + 1)2 \= (2x)2 + 2.2x.1 + 12 \= 4x2 + 4x + 1 c, (3x – 1)(3x + 1) \= 3x2 - 12 \= 9x2 - 1 Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu: a, 4x2 + 4x + 1 b, x2 - 8x + 16 Lời giải a, 4x2 + 4x + 1 \= (2x)2 + 2.2x.1 + 12 \= (2x + 1)2 b, x2 - 8x + 16 \= x2 - 2.x.4 + 42 \= (x - 4)2 2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức
Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.
Chứng minh các đẳng thức sau: a, x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy Xét VP = (x + y)2 - 2xy \= x2 + 2xy + y2 - 2xy \= x2 + y2 = VT (đpcm) b, (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab Xét VP = (a + b)2 - 4ab \= a2 + 2ab + b2 - 4ab \= a2 - 2ab + b2 \= (a - b)2 = VT (đpcm) c, 4x2 + 1 = (2x - 1)2 + 4x Xét VP = (2x - 1)2 + 4x \= (2x)2 - 2.2x.1 + 12 + 4x \= 4x2 - 4x + 1 + 4x \= 4x2 + 1 = VT (đpcm) 3. Dạng 3: Tính nhanh
Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên
Tính nhanh: a, 222 = (20 + 2)2 \= 202 + 2.20.2 + 22 \= 400 +80 + 4 \= 484 b, 992 = (100 - 1)2 \= 1002 - 2.100.1 + 12 \= 10000 – 200 + 1 \= 9801 c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1) \= 202 - 12 \= 400 – 1 \= 399 4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý: A2 ≥ 0 và -A2 ≤ 0
a, Chứng minh 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x Lời giải Xét: 9x2 - 6x + 3 = 9x2 - 6x + 2 + 1 \= (3x)2 - 2.3x.1 + 12 + 2 \= (3x + 1)2 + 2 Ta có: (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x \=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x Vậy 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x b, Chứng minh: -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x Xét: -x2 - 4x - 7 = -x2 - 4x - 4 - 3 \= -(x2 + 4x + 4) - 3 \= -(x + 2)2 - 3 Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x \=> -(x + 2)2 ≤ 0 với mọi x \=> -(x + 2)2 - 3 ≤ -3 < 0 với mọi x Vậy -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x. c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 3x + 5 Ta có: M = x2 - 3x + 5  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1. Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 2. Lập phương của một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 II. Các dạng bài: 1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:
Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: a, (2x - 1)3 \= (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13 \= 8x3 - 12x2 + 6x - 1 b, (x + 4)3 \= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 \= x3 + 12x2 + 48x + 64 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = (3x- 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2 \= (3x)3 - 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 - 13 - 4x2 + 8x + 4x2 - 4x + 1 \= 27x3 - 27x2 + 9x – 1 + 4x + 1 \= 27x3 - 27x2 + 13x B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3 \= x3 + 3x2 + 3x + 1 - 2x3 + 4x2 + x3 \= 7x2 + 3x + 1 Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu: a, x3 + 12x2 + 48x + 64 b, Lời giải a, x3 + 12x2 + 48x + 64 \= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 \= (x + 4)3 Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48 b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 1001 Lời giải a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 Ta có: A = x3 + 6x2 + 12x + 8 \= x3 + 3x2.2 + 3.x22 + 23 \= (x + 2)3 Thay x = 48 vào biểu thức A ta được: A = (48 + 2)3 = 503 = 125000 b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101 Ta có B = x3 - 3x2 + 3x - 1 \= x3 - 3x2.1 + 3.x.12 - 13 \= (x – 1)3 Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được: B = (101 – 1)3 = 1003 = 1000000 2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh:
Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tính nhanh
Tính nhanh: a, 1993 \= (200 - 1)3 \= 2003 - 3.2002.1 + 3.200.12 - 13 \= 8000000 – 120000 + 600 – 1 \= 7880599. b, 1013 \= (100 + 1)3 \= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13 \= 1000000 + 30000 + 300 + 1 \= 1030301
1. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 2. Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) II. Các dạng bài: 1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức:
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: a, x3 + 64 \= x3 + 43 \= (x + 4)(x2 + 4x + 42) \= (x + 4)(x2 + 4x + 16) b, 8x3 - 27 \= (2x)3 – 33 \= (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32] \= (2x – 3)(4x2 + 6x + 9) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a, (x - 2)3 + (x + 1)3 \= (x - 2 + x + 1)[(x - 2)2 - (x - 2)(x + 1) + (x + 1)2] \= (2x – 1)[x2 - 4x + 4 - (x2 - x - 2) + x2 + 2x + 1] \= (2x – 1)(x2 - x + 7 ) \= 2x3 - 2x2 + 14x - x2 + x - 7 \= 2x3 - 3x2 + 15x - 7 b, (3x + 4)(9x2 - 12x + 16) \= (3x + 4)[(3x)2 - 3.4x + 42] \= (3x)3 + 43 \= 27x3 + 64 2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh a, Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính Chú ý thêm: A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) A3 - B3 = (A - B)3 - 3AB(A - B) b, Ví dụ minh họa: Tính nhanh: a, 203 + 1 \= (20 + 1)(202 - 20 + 1 ) \= 21.(400 - 20 + 1) \=8400 - 420 + 21 \= 7980 + 21 \= 8001 b, 523 - 8 \= 523 - 23 \= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2) \= 503 + 6.52.50 \= 125000 + 300.52 \= 125000 + 15600 \= 140600 c, 193 \= (20– 1)3 \= 203 - 13 - 3.20.1(20 – 1) \= 8000 – 1 – 60.19 \= 8000 – 1 – 1140 \= 6859 III. Bài tập tự luyện: Bài 1: Thực hiện phép tính: a, (x - 4)2 b, (3x + 2)2 c, (2x - 3)2 d, (x - 4)(x + 4) Lời giải: a, (x - 4)2 \= x2 - 4x + 16 b, 9x2 + 12x + 4 c, 4x2 - 12x + 9 d, x2 - 16 Bài 2: Thực hiện phép tính: a, (x - 3)3 b, (1 + 2x)3 c, d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 ) Lời giải: a, x3 - 9x2 + 27x - 27 b, 1 + 6x + 12x2 + 8x3 c, d, x3 - 27y3 Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: a, 9x2 - 12 + 4 b, c, 4x2y2 - 12xy2 + 9 d, (x + y)2 - 4(x + y) + 4 Lời giải: a, (3x - 2)2 b, c, (2xy2 - 3)2 d, [(x + y) - 2]2 Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: a, b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2 Lời giải: \= ab = VP (đpcm) b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2 Xét VP = (x + y)2 + (x - y)2 \= x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2 \= 2x2 + 2y2 \= 2(x2 + y2) = VT (đpcm) Bài 5: Rút gọn biểu thức: a, A = (2x - 1)2 - 2(2x - 3)2 + 4 b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 - 2y) + (2y - 1)2 c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x2 + 2xy)y2 + y4 d, D = (x - 1)3 + 3x(x - 1)2 + 3x2(x -1) + x3 Lời giải: a, A = -4x2 + 20x - 13 b, B = [(3x + 2) + (1 - 2y)]2 \= (3x - 2y + 3)2 c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2 \= (x2 + 2xy + y2)2 \= [(x + y)2]2 \= (x + y)4 d, D = [(x - 1) + x]3 \= (2x – 1)3 Bài 6: Rút gọn biểu thức: a, N = (2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2) b, P = (x - y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 - xy + y2) c, Q = (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) - x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3 Lời giải: a, N = [(2x)3 + (3y)3] \= (8x3 + 27y3) b, P = [(x3 - y3) - (x3 + y3)] \= -2y3 c, Q = [(x2)3 - (2y)3] - x3(x3 - y3) + 8y3 \= x6 - 8y3 - x6 + x3y3 + 8y3 \= x3y3 Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau: a, A = 25x2 - 10xy2 + y4 tại x = 5, y = 4 b, B = (x + 3)2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4) với x = - c, C = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3 tại x = 4, y = 6 d, D = e, E = 27x3z6 - 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3 tại x = 25, y = 150, z = 2 f, F = (6x + 2)(9x2 - 3x + 1) – (x + 1)(x2 - x + 1) tại x = Lời giải: a, A = 81 b, B = 11 c, C = 0 d, D = 997552 e, E = 0 f, F = Bài 8: Tính nhanh: a, 292 b, 62.58 c, 1022 d, 1013 e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 g, 183 + 23 h, 233 - 27 Lời giải: a, 292 \= (30 – 1)2 \= 841 b, 62.58 \= (60 + 2)(60 – 2) \= 602 - 22 \= 3596 c, 1022 \= (100 + 2)2 \= 10404 d, 1013 \= (100 + 1)3 \= 1030301 e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 \= (91 + 9)3 \= 1003 \= 1000000 f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 \= (18 – 8)3 \= 103 \= 1000 g, 183 + 23 \= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2) \= 203 - 6.18.20 \= 5840 h, 233 - 27 \= 233 - 33 \= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3) \= 203 + 9.23.20 \= 12140 Bài 9: Tính giá trị biểu thức: a, A = 2(x3 + y3) - 3(x2 + y2) biết x + y = 1 b, B = x3 + y3 + 3xy biết x + y = 1 c, C = 8x3 - 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5 Lời giải: a, A = -1 b, B = 1 C = 485 Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: a, A =3(x – 1)2 - (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 - (5 – 20x) b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 - 3x + 9) – 1 Lời giải: a, A = - 30 b, B = 27 Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a, A = x2 + x - 2 b, B = x2 + x - 3 c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26 Lời giải: a, A = x2 + x - 2 b, B = x2 + x - 3 c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26 Ta có: D = (x2 - 6xy + 9y2) + (y2 - 10y + 25) + 1 \= (x - 3y)2 + (y - 5)2 + 1 ≥ 1 với mọi x \=> Dmin = 1 khi x =15, y = 5 Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a, A = 12x – 4x2 + 3 b, B = 6x - x2 + 3 c, C = 12x – 8y – 4x2 - y2 + 1 d, D = 2x – 6y - x2 - y2 - 2 Lời giải: a, A = 12x – 4x2 + 3 Ta có: A = -(2x - 3)2 + 12 ≤ 12 với mọi x \=> Amax = 12 khi x = b, Bmax = 12 khi x = 3 c, Cmax = 26 khi x = d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = -3 Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải: Hướng dẫn: Đặt a + b = A, B = c Ta có: VT = (a + b + c)3 \= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 Thay vào ta được: (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 \= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2 \= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2 \= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2 \= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2] \= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2) \= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)] \= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)
Bài 1. Khai triển biểu thức sau: A = x+1x+12. Bài 2. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ x, y ∈ ℝ: x+y≤x+y. Bài 3. Khai triển biểu thức sau: A = . Bài 4. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ a, b > 0: a+b≥a+b. Bài 5. Chứng minh: ab≤a+b22. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
