Baài toán mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu cố định

như một trong 3 số a b c, , bằng 0, hai số còn lại khác 0, ở đây chẳng hạn a 0 thì đường thẳng d có phương

trình

0

0 0

####### 0

####### .

x x

y y z z

b c

#######   

####### 

#######   

####### 

####### 

####### 

Nếu như có 2 trong 3 số a b c, , bằng 0, ở đây chẳng hạn a b  0 thì d có phương trình

0

0

####### 0

####### .

####### 0

x x

y y

#######   

####### 

#######   

Trong bất cứ cách viết nào theo dạng này, ta đều thấy xuất hiện 2 dấu bằng trong phương trình đường thẳng

d, mỗi dấu bằng tượng trưng cho phương trình của 1 mặt phẳng. Cách viết này có thể hiểu là một đường

thẳng được xác định thông qua 2 mặt phẳng cắt nhau, khi đó đường thẳng đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng

đó.

Ở đây ta viết lại đường thẳng d dưới dạng

####### 0

####### ,

####### 0

ax by cz d

a x b y c z d

#######     

####### 

#######       

trong đó a b c, ,  và a b c  , ,  là hai bộ

số không tỉ lệ với nhau. Xét :ax by cz d    0 và :a x b y c z d       0 thì d là giao tuyến của

 và . Tất cả các mặt phẳng chứa d đều có thể viết dươi dạng

     

2 2 m ax by cz d n a x b y c z d           0 m n  0

Nếu n0, P có dạng ax by cz d   0.

Nếu n0,P có dạng m ax by cz d a x b y c z d             0 với m

Ví dụ: Để viết phương trình P chứa đường thẳng  

####### 1

####### : ,

####### 1 2 3

x y z d

####### 

#######  

####### 

ta có thể làm như sau:

Ta viết lại đường thẳng d:

####### 1

####### 2 2 1 0

####### 3 0

####### 3

y x x y

z x z x

#######  

####### 

#######     

####### 

#######  

#######   

#######  

#######  

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/

Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 2

Vậy P có phương trình 2 1 0x y   hoặc m x y2 1 3 0 2 3           x z  m x my z m 0.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng  cho trước và tiếp xúc với mặt cầu S đã

biết

Phương pháp giải

Bước 1: Viết phương trình của P phụ thuộc theo tham số

Bước 2: Xác định tâm I và bán kính R của S, từ đó khai thác giả thiết P tiếp xúc với S khi và

chỉ khi d I P R ;  để viết phương trình mặt phẳng P.

Ví dụ: Cho đường thẳng d đi qua M0;5;0 và có vectơ chỉ phương u1;0;1 .

####### 

Viết phương trình mặt

phẳng P chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu      

####### 2 2 2 1

####### : 1 2.

####### 9

S x    y z và cắt Oz tại một

điểm có cao độ lớn hơn  1. Biết a b c; ;  là một vectơ pháp tuyến của P với b là số nguyên tố, a c, là các

số nguyên. Giá trị của a b c 6 2 bằng

1. 2. B. 4. C. 6. D. 8. (Đáp án viết tay ở cuối)

Bài tập luyện tập

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 2 1

####### :

####### 10 8 1

x y z d

#######  

  và mặt cầu

 

2 2 2

S x y z x y z:       2 6 4 15 0. Mặt phẳng P chứa đường thẳng d, tiếp xúc với S và cắt

trục Oz tại điểm có cao độ lớn hơn 3. Khi đó giao điểm của P với trục Oz có cao độ là

####### A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 1 1

####### :

####### 2 3 1

x y z d

#######  

#######  

####### 

và mặt cầu  

####### 2 2 2 2

####### : 0.

####### 3

S x y z   

Mặt phẳng P chứa đường thẳng d, tiếp xúc với S và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khoảng

cách từ điểm A1;2;3 đến P là

####### A.

####### 1

####### .

####### 6

####### B.

####### 1

####### .

####### 5

####### C.

####### 1

####### .

####### 2

####### D.

####### 1

####### .

####### 2 2

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 2 1

####### :.

####### 1 2 1

x y z d

#######  

#######  

####### 

Mặt phẳng P chứa đường thẳng d

và tiếp xúc với mặt cầu        

####### 2 2 2 81

####### : 2 1 3

####### 5

S x     y z và không song song với Oz. Khoảng cách

từ điểm A0; 1; 1   tới P bằng

####### A.

####### 1

####### .

####### 95 5

####### B.

####### 1

####### .

####### 96 5

####### C.

####### 1

####### .

####### 97 5

####### D.

####### 1

####### .

####### 98 5

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/

Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 4

2 2 2 2 2 2

cos

aa bb cc

a b c a b c



#######    

####### 

#######      

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho :x y z   1 0 và đường thẳng : 0.

####### 2

x t

d y

z

#######  

####### 

#######  

####### 

#######   

Mặt phẳng P chứa

đường thẳng d và tạo với  một góc bằng 60 . Biết mặt phẳng P cắt Oy tại điểm có tung độ lớn hơn

1 và đi qua điểm a b; ;1 . Giá trị của b thuộc khoảng nào sau đây?

A. 10;20 . B. 20; .  C.  ; 10 . D. 10;10 . (Đáp án viết tay ở cuối)

Bài tập tương tự

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 1

####### : 1

####### 0

x t

d y t

z

#######    

####### 

#######   

####### 

#######  

và mặt phẳng :2 2 3 0 y z    Mặt

phẳng P chứa đường thẳng d và hợp với mặt phẳng  một góc bằng 60 . Biết P có vectơ pháp

tuyến n1; ;b c

####### 

với c0. Giá trị của 8 7b c bằng

####### A. 7 2. B. 7. C. 9. D. 9 2.

1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 1 1

####### :

####### 2 3

x z d y

#######  

#######  

####### 

và mặt phẳng :x y z  0. Mặt

phẳng P chứa đường thẳng d, hợp với d một góc  thỏa mãn

####### 1

cos. 3

 Biết P không đi qua

gốc tọa độ. Khoảng cách từ điểm A0; 1;4  tới P là

####### A.

####### 2

####### .

####### 19

####### B.

####### 2 3

####### .

####### 19

####### C.

####### 3

####### .

####### 19

####### D.

####### 6

####### .

####### 19

8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0;0;1 và B3;0;0 . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai

điểm A và B, đồng thời tạo với mặt phẳng xOy một góc bằng 30 .

####### A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

9. Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;2;2 và mặt phẳng P x y z:2 2 2 0.    Có bao nhiêu mặt

phẳng đi qua 2 điểm O và A, đồng thời tạo với P một góc  thỏa mãn

####### 4

sin. 9



####### A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Website: thayduc/

Thầy Đỗ Văn Đức – facebook/dovanduc2020 5

4. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng  cho trước và cắt các trục tọa độ Ox, Oy,

Oz tác điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC bằng một hằng số đã biết

Phương pháp giải

Bước 1: Viết phương trình của P phụ thuộc theo tham số

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm A B C, , theo tham số, từ đó sử dụng

####### 1

####### ..

####### 6

####### VOABC OAOB OC

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

####### 1 4

####### :.

####### 2 2 3

x y z d

#######  

  Mặt phẳng P chứa đường thẳng d,

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 1 và điểm C có cao độ